Сулугуни можно заменить имеритинским сыром или брынзой или адыгейским сыром. Если малосоленый - досолить.
1 ч.л.дрожжей, 0,5 ч.л.соли, 1 ч.л. сахара смешать с небольшим количеством молока и теплой воды (в пропорции 1:2).
Смесь налить в баночку, закрыть крышкой и поставить в теплое место.
Как только появится пышная пена, добавить муки, 3 ст.л. растительного масла. В зависимости от желаемого количества теста, я иногда доливаю воду (опары всегда хватает). Довожу тесто до консистенции теста для оладьев, накрываю посуду пищевой пленкой и оставляю еще побродить.
Когда тесто поднимется почти в 2 раза, окончательно вымешиваю, перекладываю в пакет, плотно заворачиваю и оставляю подойти минут 20.
Иногда, если еще не собираюсь печь, оно может и подольше полежать.

Примечание: я всегда так ставлю опару, - всегда очень быстро начинает бродить.
На 6 средних хачапуриков ушло около 0,5 кг муки, меньше 1 стакана вводно-молочной смеси. Все делаю на глазок, не страшно, если будет больше воды или молока, - мука свое возьмет.

Для начинки сыр размять руками (можно натерть на терке).
Раскатать из теста круги, выложить сыр (начинки должно быть много).
Сформировать лодочки,- с обеих сторон кончики немного защипнуть как на пирожки, стараться заложить в кончики начинку, иначе они будут из одного теста.
Выложить на смазанный противень и дать подойти мин 10.
Классические хачапуры делаются большими, раза в 1,5 больше моих. Мне средние больше нравятся.
Подошедшие хачапурики ставим в разогретую духовку и выпекаем до легкого золочения.
Достаем из духовки, на серединку каждого (на открытую часть начинки) вбиваем по сырому яйцу и добавляем небольшой кусочек масла.
Ставим в духовку до момента, когда яйцо схватится (должно оставаться слегка жидким, как яйцо всмятку). Это минут 3-5.

Примечание: поскольку я делала небольшие хачапури, решила что по 1 яйцу в каждый будет много. Размешала в миске 3 яйца и попыталась вылить в каждую лодочку. Измучилась, поскольку масса тягучая, переливается через бортики. В общем, не советую.
Если вбивать по целому, они укладываются как на порционной сковороде.
В настоящие хачапури помещаются 2 яйца!
Оставшееся тесто можно держать в холодильнике и использовать на следующий день для мини-пиццы, пирожков.

Достаем и подаем жаждущим домашним.
Хороши хачапурики со свежим горячим сладким чаем (смешиваю для заварки черный классический и зеленый чай с жасмином, добавляю туда же кружочек лимона, кусочек яблока, немного бальзама на травках, завариваю). Подавать с лимоном или медом.